Matematica III

1)    Describe una representación matricial de una transformación lineal.

Representación matricial de una transformación R³ en R³

                                                                                          x        2x-y+3z   

Si se tiene una transformación T: R³        R³ dada por T   y  =    4x-2y+6z    

                                                                                          z        -6x+3y-9z

De la misma forma que se realizó la representación matricial de R3 a R4, a partir del resultado se obtiene la matriz de transformación, solo que en este caso no se aumenta el número de vectores, solo se transforman los tres originales a tres nuevos.

      1       2        0       -1       0        3                                   2    -1     3

T    0  =  4    T  1   =  -2  T  0    =  6   de manera que At=  4    -2     6

0            -6        0        3       1       -9                                  -6     3     -9

2)    Escribe dos sistemas de ecuaciones lineales con dos variables que representen situaciones  de la vida cotidiana.

Tres libras de arroz y dos de espaguetis cuestan 34 pesos y una de arroz y cuatro de espaguetis cuestan 38. ¿Cuál es el precio por libra de cada producto?

Arroz=x                     espaguetis=y

3x+2y=34   (1)

X+4y=38    (-3)                  3x+2(8)=34     Libra arroz=6

3x+2y=34                           3x+16=34        Libra espaguetis=8

-3x-12y=-114                      3x=34-16

     -10y = -80                       3x = 16

     -10       -10                       3       3

Y=8                                  X=6

La Primera Guerra Mundial y la segunda ocurrieron en el siglo XX, los dos últimos números de los años 19_____ en que ocurrieron estas guerras suman 53 y la suma del duplo del año de la primera guerra con el triplo de la Segunda Guerra Mundial es igual a 145 ¿En cuales años ocurrieron la primera y segunda guerra mundial? 

X=primera guerra mundial           y= segunda guerra mundial

X + y= 53          (2)

2x+ 3y=145       (-1)                            x + y=53

2x+2y=105                                           x=53-39

-2x-3y=-145

     -1y=  -39                                         x=14

      -1      -1

Y=39

Primera guerra mundial en 1914

Segunda guerra mundial en 1939

3)    Describa  los métodos básicos para resolver sistemas de ecuaciones.

     Método de igualación

1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.

3. Se resuelve la ecuación.

4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.

5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Ejemplo: 

1 Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:

2 Igualamos ambas expresiones:

3 Resolvemos la ecuación:

4 Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x:

5 Solución:

 

Método de sustitución

1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.

3. Se resuelve la ecuación.

4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.

5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Ejemplo: 

1. Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

2. Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

3. Resolvemos la ecuación obtenida:

4. Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

5. Solución

Método de reducción

1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.

2. La restamos, y desaparece una de las incógnitas.

3. Se resuelve la ecuación resultante.

4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.

5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Ejemplo: 

Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

Restamos y resolvemos la ecuación:

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.

Solución:

 

4)    Construye una matriz de orden 3x3 usando componentes de una empresa.

5)    En una empresa, representa una matriz nula 2x2.

  

7) ¿Consideras tú importante las matemáticas en tu vida? Justifique.

Sí, porque las matemáticas son  una herramienta imprescindible en nuestras vidas que nos ayuda a resolver cualquier problema que este relacionados con números  que se nos presente y nos ayuda con las tareas de la vida cotidiana, además sin el uso de las matemáticas no hubiera sido posible alcanzar todos los avances tecnológicos que tenemos hoy día.

8) Define transformaciones lineales y ejemplifica.

Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en Algebra Lineal. Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operación y la acción) de estos espacios.

Ejemplos.

 1. Sean V y W dos K-espacios vectoriales. Entonces 0: V → W, definida por 0(x) = 0W ∀ x ∈ V, es una transformación lineal.

2. Si V es un K-espacio vectorial, id: V → V definida por id(x) = x es una transformación lineal.

3. Sea A ∈ K m×n. Entonces f A: K n → Km definida por fA(x) = (A.xt ) t es una transformación lineal.

4. f: K [X] → K [X], f (P) = P 0 es una transformación lineal.

5. F: C(R) → R, donde C(R) = {f:R → R | f es continua}, F(g) = R 1 0 g(x) dx es una transformación lineal

9) Redacta un problema  de sistema de ecuaciones que esté relacionado con aplicaciones de tu carrera.

Con dos camiones cuyas capacidades de carga son respectivamente de 3 y 4 toneladas, se hicieron en total 23 viajes para transportar 80 toneladas de madera. ¿Cúantos viajes realizó cada camión?

10) Define Isomorfismo.

En matemáticas, un isomorfismo (del griego iso-morfos: Igual forma) es un homomorfismo (o más generalmente un morfismo) que admite un inverso. El concepto matemático de isomorfismo pretende captar la idea de tener la misma estructura. Dos estructuras matemáticas entre las que existe una relación de isomorfismo se llaman isomorfas. Isomorfismo significa construir modelos similares al modelo original, esto con el fin de aumentar o mejorar el desempeño de un sistema.